Lodi sauc par ievilktu cilindrā (jeb cilindru apvilktu ap lodi), ja lode pieskaras abiem cilindra pamatiem un visām cilindra veidulēm.
Cilindrā ievilkta lode pieskaras cilindram tā pamatu centros un visu veiduļu viduspunktos.
Ievilktās lodes centrs atrodas cilindra ass viduspunktā, bet tās rādiuss vienāds ar cilindra pamata rādiusu |
 |
Lodi var ievilkt tādā un tikai tādā cilindrā, kura augstums ir divreiz garāks par cilindra rādiusu:  , kur rc - cilindra pamata rādiuss, Rl - lodes rādiuss, Hc - cilindra augstums.
Risinot uzdevumus, dažreiz ir ērti zīmēt nevis pilnu ķermeņu kombinācijas attēlu, bet tikai tās šķēlumu ar plakni, kas vilkta caur cilindra rotācijas asi. Šādas ķermeņu kombinācijas aksiālšķēlums ir kvadrāts, kurā ievilkta riņķa līnija.
|
| 2011-05-24 02:30 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Lodi sauc par ievilktu kubā (jeb kubu apvilktu ap lodi), ja lode pieskaras visām kuba skaldnēm.
Kubā ievilkta lode pieskaras kuba skaldnēm to diagonāļu krustpunktos.
Ievilktās lodes centrs atrodas kuba diagonāļu krustpunktā, bet tās rādiuss vienāds ar pusi no kuba šķautnes garuma:
|
Rl - lodes rādiuss |
Lodi var ievilkt katrā kubā.Risinot uzdevumus, dažreiz ir ērti zīmēt nevis pilnu ķermeņu kombinācijas attēlu, bet tikai ķermeņu kombinācijas šķēlumu ar plakni, kas vilkta caur lodes centru paralēli kuba skaldnei.
|
| 2011-05-24 02:29 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem x un y atrisinājumi ir visi tie koordinātu plaknes punkti, kuru koordinātas apmierina visas nevienādību sistēmas nevienādības.
Lai atrisinātu nevienādību sistēmu, var rīkoties šādi:· koordinātu plaknē uzzīmē katras nevienādības atrisinājumu; · nevienādību sistēmas atrisinājums ir tā koordinātu plaknes daļa, kuras punkti ir visu sistēmas nevienādību atrisinājumi.
PiemērsAtrisināt nevienādību sistēmu
| Soļi |
Risinājums |
| Koordinātu plaknē uzzīmē pirmās nevienādības atrisinājumus |
Nevienādības x2 + y2 ≤ 16 atrisinājums ir jebkurš riņķa, kura centrs atrodas koordinātu sākumpunktā un rādiuss ir 4, punkts (proti, tā koordinātas) |
| Tajā pašā koordinātu plaknē uzzīmē otrās nevienādības atrisinājumu |
No otrās nevienādības y < 2x - 2 izsaka y.
Funkcijas y = 2x - 2 grafiks ir taisne.
Nevienādības y < 2x - 2 atrisinājumi atrodas „zem" taisnes.
Tā kā nevienādības veids ir „<", punkti uz taisnes grafika nav nevienādības atrisinājumi - grafiku zīmē ar pārtrauktu līniju |
| Nevienādību sistēmas atrisinājums ir plaknes daļa, kur pārklājas abu nevienādību atrisinājumu kopas |
 |
|
| 2011-05-24 02:28 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Ja vienādojums vai nevienādība satur divus nezināmos lielumus, tiek runāts par vienādojumiem un nevienādībām ar diviem mainīgajiem.
Piemēram, vienādojumi x + 2y = 2 un 2y2 - 3xy = x ir vienādojumi ar diviem mainīgajiem, bet nevienādības y > 2x - 2 un xy + 2x < 3y ir nevienādības ar diviem mainīgajiem x un y.
· Vienādojuma ar diviem mainīgajiem atrisināšana
Vienādojuma ar diviem mainīgajiem x un y atrisinājums ir skaitļu pāris (x; y), kuru ievietojot dotajā vienādojumā iegūst pareizu skaitlisku vienādību.Lai iegūtu visus vienādojuma atrisinājumus, rīkojas šādi:
1) vienu mainīgo aizstāj ar kādu nenoteiktu skaitli t;
2) atrisina vienādojumu attiecībā pret otru mainīgo.
· Nevienādības ar diviem mainīgajiem atrisināšana
Nevienādības ar diviem mainīgajiem x un y atrisinājums ir skaitļu pāris (x; y), kuru ievietojot dotajā nevienādībā iegūst pareizu skaitlisku nevienādību.Lai atrisinātu nevienādību y > f(x) (y < f(x)), var izmantot šādu paņēmienu:1) koordinātu plaknē uzzīmē nevienādībai atbilstoša vienādojuma grafiku y = f(x), kurš sadala koordinātu plakni daļās;2) nevienādības atrisinājums ir tā koordinātu plaknes daļa, kuras punktu koordinātas apmierina doto nevienādību.
Atrisināt nevienādību 2x - y > 4.
| Soļi |
Risinājums |
| Izsaka no nevienādības mainīgo y |
-y > 4 - 2x y < 2x - 4 |
| Koordinātu plaknē uzzīmē nevienādībai atbilstoša vienādojuma grafiku |
y = 2x - 4, taisne |
| Izvēlas kādu punktu vienā no iegūtajām koordinātu plaknes daļām un ievieto dotajā nevienādībā |
Piemēram, (0; 0) → 0 < 2 · 0 - 4, iegūstam 0 < - 4, kas nav pareiza skaitliska nevienādība. Līdz ar to šīs koordinātu plaknes daļas punkti nav nevienādības atrisinājumi. Jāizvēlas otra koordinātu plaknes daļa |
| Iezīmē nevienādības atrisinājumu |
 |
|
| 2011-05-24 02:26 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Ja logaritmiskā vienādojumā nezināmais atrodas gan pakāpes bāzē, gan kāpinātājā, šādus vienādojumus risina, abas puses logaritmējot.
Logaritmēt nozīmē - aprēķināt logaritmus pie vienas un tās pašas bāzes abām vienādojuma pusēm.
Piemērs
Atrisināt vienādojumu  .
| Soļi |
Risinājums |
| Lai atbrīvotos no logaritma kāpinātājā, abas vienādojuma puses logaritmē pie bāzes 3, jo šādas bāzes logaritms jau ir vienādojumā |
 |
| Izmanto logaritmu īpašības |
log3 (3x) · log3 x = 2
(log3 3 + log3 x) · log3 x= 2
(1 + log3 x) · log3 x = 2 |
| Izmanto substitūcijas metodi. Apzīmē log3 x = t |
(1 + t) · t = 2 |
| Atrisina algebrisko vienādojumu |
t2 + t - 2 = 0
t1 = - 2 un t2 = 1 |
| Atgriežas pie apzīmētās izteiksmes |
log3 x = - 2 vai log3 x = 1 |
| Atrisina logaritmiskos vienādojumus |
 vai x2 = 31 = 3, abas saknes ietilpst vienādojuma definīcijas apgabalā x > 0 |
|
| 2011-05-24 02:25 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Vienādojumu sauc par iracionālu, ja vienādojuma nezināmais atrodas zem saknes zīmes.
Lai atrisinātu iracionālu vienādojumu, cenšas atbrīvoties no saknes un iegūt racionālu vienādojumu. To var izdarīt, abas vienādojuma puses kāpinot kvadrātā. Jāievēro, ka kāpināšana kvadrātā nav ekvivalents pārveidojums, jo šādi tiek paplašināts vienādojuma definīcijas apgabals. Tāpēc, lietojot šo paņēmienu, jāpārliecinās, vai nav radušās liekas saknes
.Piemērs
Atrisināt vienādojumu  .
| Soļi |
Risinājums |
| Lai atbrīvotos no saknes, abas vienādojuma puses kāpina kvadrātā |
2x + 3 = x2 |
| Atrisina iegūto vienādojumu |
x2 - 2x - 3 = 0
pēc Vjeta teorēmas x1 = 3 un x2 = -1 |
| Pārbauda, vai dotās saknes ir dotā vienādojuma atrisinājums, ievietojot tās dotajā vienādojumā |
Ja x = 3, tad  un  . Šī sakne der.
Ja x = - 1, tad  un  , kas nav pareizi. Šī sakne neder |
Ir vienādojumi, kuros, lai atbrīvotos no iracionalitātes, kāpināšana kvadrātā jāveic vairākkārt.Risinot iracionālu vienādojumu  , kāpināšanu kvadrātā jāveic divreiz.
| Soļi |
Risinājums |
| Abas vienādojuma puses kāpina kvadrātā (pirmo reizi) |
 |
| Pārnes saskaitāmos, kuri nesatur kvadrātsakni, uz kreiso pusi. Saskaita līdzīgos locekļus |
 |
| Abas vienādojuma puses kāpina kvadrātā (otro reizi) |
x2 = 4x |
| Atrisina iegūto kvadrātvienādojumu |
x2 = 4x
x2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0
x1 = 0 un x2 = 4 |
| Pārbauda, vai iegūtās saknes ir dotā vienādojuma atrisinājumi |
Ja x = 0, tad . Šī sakne der.
Ja x = 4, tad . Šī sakne der |
|
| 2011-05-24 02:24 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Vienādojumu un nevienādību atrisināšanas vispārējās metodes var izmantot arī logaritmisko, trigonometrisko un eksponentvienādojumu un nevienādību risināšanā:
Substitūcijas metode
Izvēloties jaunu mainīgo (argumentu), cenšamies risināmo vienādojumu aizstāt ar tādu vienādojumu, kuram ir zināma risināšanas metode.
Piemērs 1
Risinot trigonometrisko vienādojumu 2sin2x - 3sinx + 1 = 0, ērti izmantot substitūcijas metodi.
| Soļi |
Risinājums |
| Apzīmē sin x ar citu mainīgo |
sin x = t |
| Izdara aizvietošanu dotajā vienādojumā, iegūstot algebrisku vienādojumu |
2sin2x - 3sinx + 1 = 0
2t2 - 3t + 1 = 0 |
| Atrisina algebrisko vienādojumu |
D = (-3)2 - 4 · 2 · 1 = 9 - 8 = 1
  |
| Atgriežas pie apzīmētās izteiksmes, ievietojot aprēķinātās vērtības |
 vai sin x = 1 |
| Atrisina iegūtos trigonometriskos pamatvienādojumus |
 |
sin x = 1
 |
· Sadalīšana reizinātājos
Metodi izmanto vienādojumos, kurus var pārvērst formā f(x) · g(x) · h(x) · ... = 0.Risinājumā izmanto faktu, ka reizinājums ir vienāds ar 0 tikai tad, ja kāds no reizinātājiem ir vienāds ar 0.
Tātad f(x) · g(x) · h(x) · ... = 0  f(x) = 0 g(x) = 0 h(x) = 0...
Piemērs 2
Risinot eksponentnevienādību 2x · 3x + 1 > 2x, ērti izmantot sadalīšanu reizinātājos.
| Soļi |
Risinājums |
| Visus saskaitāmos pārnes uz nevienādības kreiso pusi |
2x · 3x + 1 - 2x > 0 |
| 2x iznes pirms iekavām |
2x (3x+1 - 1) > 0 |
| Divu reizinātāju reizinājums ir lielāks par 0, ja abi reizinātāji ir pozitīvi vai arī abi reizinātāji ir negatīvi |
 |
vai |
 |
| Iegūtās nevienādību sistēmas risina katru atsevišķi |
2x > 0 visiem reāliem x
3x+1 > 1
3x+1 > 30
x + 1 > 0, jo bāze 3 > 1
x > -1
Atbilde: x  (-1;+  ) |
Nevienādībai 2x < 0 nav atrisinājuma, jo 2x > 0 visiem reāliem x. Tāpēc arī nevienādību sistēmai atrisinājuma nav |
· Grafiskā metode
Ja dots vienādojums f(x) = g(x), tad grafiskā atrisināšanas paņēmiena gaita ir šāda:1) konstruē grafiku y = f(x); 2) tajā pašā koordinātu sistēmā konstruē grafiku y = g(x);
3) nolasa grafiku krustpunktu x koordinātas;
4) pieraksta uzdevuma atbildi.Grafisko atrisināšanas paņēmienu ērti lietot tad, ja vienādojuma abām pusēm atbilstošos grafikus ir viegli konstruēt. Jāņem vērā, ka krustpunktu koordinātas, gadījumos, kad tās nav veseli skaitļi, nav iespējams precīzi nolasīt. Grafisko paņēmienu var izmantot, lai noteiktu sakņu skaitu.
Piemērs 3
Nevienādību  ērti atrisināt, izmantojot grafisko paņēmienu.
| Soļi |
Risinājums |
Vienā un tajā pašā koordinātu sistēmā konstruē funkciju
f(x) = log2 x un  grafikus.
1. grafiks
2. grafiks |
|
Nosaka grafiku krustpunktu koordinātas.
Grafiski |
Funkciju f(x) un g(x) grafiki krustojas punktā (2;1) |
Nevienādības atrisinājums ir nevienādības
f(x) > g(x) atrisinājums.
Grafiski |
f(x) > g(x) ir tām x vērtībām, kurām f(x) grafiks atrodas virs g(x) grafika. Tātad intervālā x(2;+).
Tā kā nevienādības definīcijas apgabala prasības ir x>0 un x ≠ 0, tad nevienādības atrisinājums ir x(2;+) |
|
| 2011-05-24 02:23 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Funkcija ir atbilstība starp divu kopu X un Y elementiem, ja katram kopas X elementam x pēc noteikta likuma f atbilst viens vienīgs kopas Y elements y.
y = f(x)
| Pieņemsim, ka ir dota funkcija y = f(x) (tās definīcijas kopa - D un vērtību kopa V). Zināms, ka punktā x0 funkcijas vērtība ir y0 , t.i. y0 = f(x0). |
 |
| Bez tam, ir dota funkcija z = g(y), kuras definīcijas kopa ir V un vērtību kopa ir E. Zināms, ka kopas V elementam y0 tiek piekārtots kopas E elements z0, t.i. z0 =g(y0). |
 |
Funkciju z = g(f(x)) sauc par saliktu funkciju.
Funkciju g sauc par ārējo funkciju, bet f - par iekšējo funkciju.
Lai aprēķinātu saliktas funkcijas z = g(f (x0)) vērtību, vispirms argumentam x0 aprēķina iekšējās funkcijas vērtību f(x0). Tad f(x0) kļūst par nākamās (ārējās) funkcijas g argumentu un aprēķina ārējās funkcijas vērtību g(f (x0)), jeb g(y0). |
|
Piemēri
Dotas funkcijas f(x) = 3x, . Uzraksti salikto funkciju izteiksmes!
1) f(g(x)) 
2) g(f(x))
3) g(h(x))
4) h(g(x))
5) h(g(f(x)))
|
| 2011-05-24 02:21 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Rotācijas ķermeni, kuru iegūst pusriņķim rotējot ap taisni, uz kuras atrodas pusriņķa diametrs, sauc par lodi.
Lodes virsmu sauc par sfēru.
Lodes šķēlums ar plakni ir riņķis vai punkts. Plakni, kurai ar lodes virsmu ir tikai viens kopīgs punkts, sauc par lodes pieskarplakni.
Sfēras jeb lodes virsmas laukumu aprēķina, izmantojot šādu formulu:Slodei = 4 π R2, kur R - lodes rādiuss.Lodes tilpumu aprēķina pēc formulas:Vlodei =  πR3 |
| 2011-05-24 02:19 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
Rotācijas ķermeni, kuru iegūst taisnleņķa trapecei rotējot ap taisni, uz kuras atrodas tās īsākā sānu mala, sauc par nošķeltu konusu.
Rotācijas asi m sauc par konusa asi.
Rotējošo malu AB (garākā trapeces sānu mala) sauc par nošķelta konusa veiduli.
Rotācijas rezultātā izveidojušos riņķus sauc par nošķelta konusa pamatiem.
Perpendikulu, kurš novilkts no viena pamata kāda punkta perpendikulāri otra pamata plaknei, sauc par nošķelta konusa augstumu.Nošķeltu konusu iegūst arī tad, ja konusu šķeļ ar plakni, kas paralēla konusa pamata plaknei. Tad viena daļa ir konuss, bet tā daļa, kas atrodas starp pamatu un tam paralēlo plakni, ir nošķelts konuss. Tāpēc ieteicams, zīmējot nošķeltu konusu, sākt ar konusa zīmējumu.Nošķelta konusa šķēlumu ar plakni, kas iet caur konusa asi, sauc par aksiālšķēlumu. Nošķelta konusa aksiālšķēlums ir vienādsānu trapece, kuras pamati ir konusa pamatu diametri, bet sānu malas - konusa veidules.Nošķelta konusa sānu virsmas (koniskās virsmas) laukumu aprēķina, izmantojot formulu:Ssānu nošķeltam konusam = πl(r + R), kur l ir konusa veidule, bet r un R pamatu rādiusi.
Nošķelta konusa pilnas virsmas laukumu aprēķina, izmantojot formulu:Spilnai virsmai = Ssānu virsmai + Spamatam1 + Spamatam2 = πl(r + R) + π(r2 + R2)
Nošķelta konusa tilpumu aprēķina, izmantojot formulu:Vnošķ. konusam =  πH(R2 + r2 + Rr) |
| 2011-05-24 02:18 Ieteikt draugiem TweetMe
|
|
|
|
