Vienādojumu un nevienādību atrisināšanas vispārējās metodes

Vienādojumu un nevienādību atrisināšanas vispārējās metodes var izmantot arī logaritmisko, trigonometrisko un eksponentvienādojumu un nevienādību risināšanā:


Substitūcijas metode
Izvēloties jaunu mainīgo (argumentu), cenšamies risināmo vienādojumu aizstāt ar tādu vienādojumu, kuram ir zināma risināšanas metode.
Piemērs 1
Risinot trigonometrisko vienādojumu 2sin2x - 3sinx + 1 = 0, ērti izmantot substitūcijas metodi.

Soļi	Risinājums
Apzīmē sin x ar citu mainīgo	sin x = t
Izdara aizvietošanu dotajā vienādojumā, iegūstot algebrisku vienādojumu	2sin2x - 3sinx + 1 = 0  2t2 - 3t + 1 = 0
Atrisina algebrisko vienādojumu	D = (-3)2 - 4 · 2 · 1 = 9 - 8 = 1
Atgriežas pie apzīmētās izteiksmes, ievietojot aprēķinātās vērtības	vai sin x = 1
Atrisina iegūtos trigonometriskos pamatvienādojumus		sin x = 1

· Sadalīšana reizinātājos
Metodi izmanto vienādojumos, kurus var pārvērst formā f(x) · g(x) · h(x) · ... = 0.Risinājumā izmanto faktu, ka reizinājums ir vienāds ar 0 tikai tad, ja kāds no reizinātājiem ir vienāds ar 0.
Tātad f(x) · g(x) · h(x) · ... = 0     f(x) = 0   g(x) = 0   h(x) = 0...

Piemērs 2
Risinot eksponentnevienādību 2x · 3x + 1 > 2x, ērti izmantot sadalīšanu reizinātājos. 

Soļi	Risinājums
Visus saskaitāmos pārnes uz nevienādības kreiso pusi	2x · 3x + 1 - 2x > 0
2x iznes pirms iekavām	2x (3x+1 - 1) > 0
Divu reizinātāju reizinājums ir lielāks par 0, ja abi reizinātāji ir pozitīvi vai arī abi reizinātāji ir negatīvi		vai
Iegūtās nevienādību sistēmas risina katru atsevišķi	2x > 0 visiem reāliem x 3x+1 > 1  3x+1 > 30  x + 1 > 0, jo bāze 3 > 1  x > -1  Atbilde: x (-1;+ )		Nevienādībai 2x < 0 nav atrisinājuma, jo 2x > 0 visiem reāliem x. Tāpēc arī nevienādību sistēmai atrisinājuma nav

· Grafiskā metode
Ja dots vienādojums f(x) = g(x), tad grafiskā atrisināšanas paņēmiena gaita ir šāda:1) konstruē grafiku y = f(x); 2) tajā pašā koordinātu sistēmā konstruē grafiku y = g(x); 
3) nolasa grafiku krustpunktu x koordinātas; 
4) pieraksta uzdevuma atbildi.Grafisko atrisināšanas paņēmienu ērti lietot tad, ja vienādojuma abām pusēm atbilstošos grafikus ir viegli konstruēt. Jāņem vērā, ka krustpunktu koordinātas, gadījumos, kad tās nav veseli skaitļi, nav iespējams precīzi nolasīt. Grafisko paņēmienu var izmantot, lai noteiktu sakņu skaitu.
Piemērs 3
Nevienādību  ērti atrisināt, izmantojot grafisko paņēmienu.

Soļi	Risinājums
Vienā un tajā pašā koordinātu sistēmā konstruē funkciju f(x) = log2 x un grafikus. 1. grafiks 2. grafiks
Nosaka grafiku krustpunktu koordinātas. Grafiski	Funkciju f(x) un g(x) grafiki krustojas punktā (2;1)
Nevienādības atrisinājums ir nevienādības f(x) > g(x) atrisinājums. Grafiski	f(x) > g(x) ir tām x vērtībām, kurām f(x) grafiks atrodas virs g(x) grafika. Tātad intervālā x(2;+).  Tā kā nevienādības definīcijas apgabala prasības ir x>0 un x ≠ 0, tad nevienādības atrisinājums ir x(2;+)